第一章 三角形的证明

一、全等三角形判定、性质：

1.判定

(SSS)：三条边对应相等的两个三角形全等

(SAS)：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

(ASA) ：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

(AAS) ：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

(HL) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。

二、等腰三角形的性质

定理：等腰三角形有两边相等；(定义)

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。（三线合一）

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

三、等腰三角形的判定 

1. 有关的定理及其推论

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。  

2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 

四、直角三角形

1、直角三角形的性质

直角三角形的两锐角互余

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；   

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、直角三角形判定

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；

3、互逆命题、互逆定理    

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.    

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

五、线段的垂直平分线、角平分线  

1、线段的垂直平分线。  

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心）

判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 

2、角平分线。  

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心）

判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 

第二章  一元一次不等式与一元一次不等式组

一. 不等关系

※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式

※2. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.

非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0

非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0

二. 不等式的基本性质

※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用：

(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变，即：

如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.

(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即：

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc，

(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即：

如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, 

※2. 比较大小：(a、b分别表示两个实数或整式)

一般地：

如果a>b，那么a-b是正数；反过来，如果a-b是正数，那么a>b；

如果a=b，那么a-b等于0；反过来，如果a-b等于0，那么a=b；

如果a<b，那么a-b是负数；反过来，如果a-b是正数，那么a<b；

即：

a>b <===> a-b>0

a=b <===> a-b=0

a<b <===> a-b<0

三. 不等式的解集：

※1.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集；求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

※2.不等式的解可以有无数多个，一般是在某个范围内的所有数，与方程的解不同

3.不等式的解集在数轴上的表示：

用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

①边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；

②方向：大向右，小向左

四. 一元一次不等式：

※1.只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式。

※2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，当不等式两边都乘以一个负数时，不等号要改变方向。

※3.解一元一次不等式的步骤：

①去分母；

②去括号；

③移项；

④合并同类项；

⑤系数化为1(不等号的改变问题) 

※4.一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)

①当a>0时，解为 ；

②当a=0时，且b<0，则x取一切实数；

当a=0时，且b≥0，则无解；

③当a<0时，解为 。

5. 列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：

①审：认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义；

②设：设出适当的未知数；

③列：根据题中的不等关系，列出不等式；

④解：解出所列的不等式的解集；

⑤答：写出答案，并检验答案是否符合题意。

六. 一元一次不等式组

※1.定义：由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

※2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集。如果这些不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解。（解集的公共部分,通常是利用数轴来确定。） 

※3.解一元一次不等式组的步骤：

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；

(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数，且a<b)

x>b，两大取较大

x>a，两小取小

a<x<b，大小交叉中间找

无解，在大小分离没有解(是空集)

第三章 图形的平移与旋转

一、平移变换： 

1.概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 

2.性质：

（1）平移前后图形全等； 

（2）对应点连线平行或在同一直线上且相等。  

3.平移的作图步骤和方法： 

（1）分清题目要求，确定平移的方向和平移的距离；

（2）分析所作的图形，找出构成图形的关健点；

（3）沿一定的方向，按一定的距离平移各个关健点；

（4）连接所作的各个关键点，并标上相应的字母；

（5）写出结论。 

二、旋转变换： 

1.概念：

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 

说明：

（1）图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的；

（2）旋转过程中旋转中心始终保持不动。

（3）旋转过程中旋转的方向是相同的．

（4）旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的。

旋转不改变图形的大小和形状。

2.性质：

（1）对应点到旋转中心的距离相等； 

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋角；

（3）旋转前、后的图形全等。

3.旋转作图的步骤和方法：

（1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角；

（2）找出图形的关键点；

（3）将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点；

（4）按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。

说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角。

4.常见考法 

（1）把平移旋转结合起来证明三角形全等；

（2）利用平移变换与旋转变换的性质，设计一些题目  

第四章  因式分解

一. 分解因式

※1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

※2.因式分解与整式乘法是互逆关系：

因式分解与整式乘法的区别和联系：

(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；

(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。

二.提公共因式法

※1.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

※2.概念内涵：

(1)因式分解的最后结果应当是“积”；

(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式；

(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律。

※3.易错点点评：

(1)注意项的符号与幂指数是否搞错；

(2)公因式是否提“干净”；

(3)多项式中某一项恰为公因式；提出后；括号中这一项为+1；不漏掉。

三.公式法

※1.如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

※2.主要公式：

(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

(2)完全平方公式： 

※3.运用公式法：

(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

①应是二项式或视作二项式的多项式；

②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方；

③二项是异号。

(2)完全平方公式：

①应是三项式；

②其中两项同号，且各为一整式的平方；

③还有一项可正负，且它是前两项幂的底数乘积的2倍。

※4.因式分解的思路与解题步骤：

(1)先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；

(2)再看能否使用公式法；

(3)用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。

四.分组分解法：

※1.分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。

※2.概念内涵：

分组分解法的关键是如何分组，要尝试通过分组后是否有公因式可提，并且可继续分解，分组后是否可利用公式法继续分解因式。

※3.注意：分组时要注意符号的变化。

五. 十字相乘法：

※1.对于二次三项式 ，将a和c分别分解成两个因数的乘积，  ， ，且满足 ，往往写成的形式，将二次三项式进行分解。

※2. 二次三项式的分解：

       

※3.规律内涵：

(1)理解：分解因式时，如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。

(2)如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同，对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项系数p。

4. 易错点点评：

(1)十字相乘法在对系数分解时易出错；

(2)分解的结果与原式不等，这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确。

第五章  分式与方程

一.认识分式

※1.两个整数不能整除时，出现了分数；类似地，当两个整式不能整除时，就出现了分式。

整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么称为分式，对于任意一个分式，分母都不能为零。

※2.整式和分式统称为有理式，即

※3.进行分数的化简与运算时，常要进行约分和通分，其主要依据是分数的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。

   

※4.一个分式的分子、分母有公因式时，可以运用分式的基本性质，把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式，也就是把分子、分母的公因式约去，这叫做约分。

二. 分式的乘除法

※1.分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

※2.分式乘方,把分子、分母分别乘方。

 逆向运用 ，当n为整数时，仍然有成立。

※3.分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

三. 分式的加减法

※1.分式与分数类似，也可以通分。根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

※2.分式的加减法：

分式的加减法与分数的加减法一样，分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减。

(1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；

(2)异号分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减；

※3. 概念内涵：

通分的关键是确定最简分母，其方法如下：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积，如果分母是多项式，则首先对多项式进行因式分解。

四. 分式方程

※1.解分式方程的一般步骤：

①在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；

②解这个整式方程；

③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

※2.列分式方程解应用题的一般步骤：

①审清题意；

②设未知数；

③根据题意找相等关系，列出(分式)方程；

④解方程，并验根；

⑤写出答案。

第六章 平行四边形

1.正确理解定义

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 

（2）表示方法：用“ ”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作  ABCD，读作“平行四边形ABCD”。

2.熟练掌握性质

平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的。

（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；

（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；

（3）对角线：平行四边形的 对角线互相平分；

（4）面积：①；

 ②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形。

※3.平行四边形的判别方法

①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形

4.※几种特殊四边形的有关概念

（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可。

（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可。

（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形。

（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：

①一组对边平行；

②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题。

（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等 的梯形，特殊梯形还有直角梯形。

※5.几种特殊四边形的有关性质

（1）矩形：①边：对边平行且相等；  

②角：对角相等、邻角互补；

③对角线：对角线互相平分且相等；  

④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）

（2）菱形：①边：四条边都相等；

②角：对角相等、邻角互补；

③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；   

④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）

（3）正方形：①边：四条边都相等； 

②角：四角相等；

③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；  

④对称性：轴对称图形（4条）

（4）等腰梯形：①边：上下底平行但不相等，两腰相等；

②角：同一底边上的两个角相等；对角互补

③对角线：对角线相等；

④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）

※6.几种特殊四边形的判定方法

（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形

①有一个角是直角的平行四边形；

②对角线相等的平行四边形；

③四个角都相等 

（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形

①有一组邻边相等的平行四边形

②对角线互相垂直的平行四边形

③四条边都相等

（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．

①有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形

②有一组邻边相等的矩形

③对角线互相垂直的矩形

④有一个角是直角的菱形

⑤对角线相等 的菱形

（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形

①同一底两个底角相等的梯形；

②对角线相等的梯形．

7.几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析

（1）识别矩形的常用方法

① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角。

② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等。

③ 说明四边形ABCD的三个角是直角。

（2）识别菱形的常用方法

① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等。

② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直。

③ 说明四边形ABCD的四条相等。

（3）识别正方形的常用方法

① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等。

② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等。

③ 先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等。

④ 先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角。

（4）识别等腰梯形的常用方法

① 先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等。

② 先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等。

③ 先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等。 

8.几种特殊四边形的面积问题：

① 设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab。

② 设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=。

③ 设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=a2；若正方形的对角线的长为a，则S正方形=。

④ 设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=。